Weak KAM and Aubry-Mather theories in an optimal switching setting

Diego Marcon Farias

Key information

Authors:

Diego Marcon Farias (Diego Marcon Farias)

Supervisors:

Diogo Luís de Castro Vasconcelos de Aguiar Gomes (Diogo Luís de Castro Vasconcelos de Aguiar Gomes)

Published in

05/13/2013

Abstract

Dynamical systems defined by Tonelli Lagrangians have been the object of extensive study. In this direction, there is a deep connection between the classical calculus of variations problem and aspects of the weak KAM and Aubry–Mather theories, whence an extremely beautiful theory can be formulated. Such formulation is a combination of results that have been introduced by P.L. Lions, G. Papanicolaou, S.R.S. Varadhan, A. Fathi, J. Mather, R. Ma˜n´e, among others. In this thesis, we extend a number of concepts of this known theory to the case where an optimal switching system is considered. Roughly speaking, an optimal switching problem consists of finding trajectories of a system whose dynamics can be conveniently modified by switching between different settings or “modes”, in order to minimize an action functional. We mainly consider two issues: the analysis of the calculus of variations problem and the study of a generalized weak KAM–type theorem for solutions of a weakly coupled systems of Hamilton–Jacobi equations. Our results include the existence and regularity of action minimizers as well as necessary conditions for minimality, and an extension of Fathi’s weak KAM theorem. These can be applied to obtain a third result, namely, the long time behavior of solutions of the time–dependent system. Sistemas dinamicos definidos a partir de Lagrangianos de Tonelli tem sido intensivamente estudados. Nesta direçao, existe uma conexao profunda entre o problema classico do calculo de variações e aspectos das teorias KAM fraca e de Aubry-Mather, de onde uma teoria deslumbrante pode ser formulada. Tal formulação e uma combinacao de resultados introduzidos por P.L. Lions, G. Papanicolaou, S.R.S. Varadhan, A. Fathi, J. Mather, R. Mane, entre outros. Nesta tese, estendemos alguns conceitos desta teoria ja conhecida para o caso onde um sistema de comutaçcãao otimo e considerado. Grosseiramente falando, um problema de comutaçao ótimo consiste em encontrar trajetórias ótimas em um sistema onde a dinamica pode ser convenientemente modificada por comutacão de estados ou modos, de tal maneira que a açcãao de certo funcional seja minimizada. Consideramos principalmente duas questoes: a analise do problema do calculo de variaçoes e o estudo de um teorema do tipo KAM fraco para soluçoes de um sistema fracamente acoplado de equacoes de Hamilton-Jacobi associado. Nossos resultados incluem a existencia e a regularidade de minimizantes para a açao, condiçcãoes necessarias para minimalidade e uma extensãao do Teorema KAM fraco de Fathi. Estes sao entao aplicados para a obtencao de um terceiro resultado, a saber, o comportamento assimptotico de soluçoes do sistema com dependencia do tempo.