Nonlinear control of an inverted pendulum

António Samuel Ávila Balula

Key information

Authors:

António Samuel Ávila Balula (Samuel Balula)

Supervisors:

João Manuel Lage de Miranda Lemos (João Manuel Lage de Miranda Lemos); Horácio João Matos Fernandes (Horácio João Matos Fernandes)

Published in

11/09/2016

Abstract

Um pêndulo de Furuta é um pêndulo de rotação actuado na sua base por um motor de corrente contínua com desmultiplicação. Dois problemas estão associados a estes dispositivos 1) o processo de inversão do pêndulo desde o seu equilíbrio estável, em que o pêndulo se encontra abaixo do seu eixo, até à posição invertida e 2) manter o equilíbrio na posição invertida. Ambos os problemas são resolvidos com controlo optimo a partir do princípio de mínimo de Pontryagin. No caso da inversão o problema é não linear e um método numérico e usado para encontrar a solução. Este baseia-se na integração das equações do estado e do coestado e da otimização da Hamiltoniana em função da variável manipulada. Já no caso do controlo no equilíbrio e usado um controlador LQG, ativado numa região do espaço de estados próxima da posição invertida, com velocidade nula. Procede-se a um estudo da região de atracão deste controlador na presença de limitações da potência do motor. Apresentam-se os resultados de simulações efectuadas com o modelo identificado do sistema, bem como dados experimentais e os sistemas de controlo e algoritmos desenvolvidos e utilizados. The Furuta pendulum is a rotational pendulum that is actuated at its basis by a direct current motor with a gear. Two control problems associated to it consist of swinging-up the pendulum, in order to move it from the downwards up to the upwards position, and then to equilibrate the pendulum in the unstable, upwards position. In both cases, optimal control methods are used. The swing-up problem is solved by formulating it as an optimal control problem with a convenient cost, that is then solved by using a numerical method to approximate the Pontryagin’s necessary conditions. The numerical method relies on the iterative solution of the state equation (forwards), of the adjoint equation (backwards), and on the optimization of the Hamiltonian function with respect to the manipulated variable in a grid of time points. Different aspects related to this problem are considered, that include the selection of an appropriate cost and numerical procedure details. The equilibration problem is solved with a standard LQG controller that is activated within a region of the state-space that is close to the upwards, zero velocity, state. A numerical study of the attraction region of the LQG equilibrating controller is performed, in order to show that this controller will fulfil its objective, even in the presence of a saturation non-linearity in the actuator. The algorithms and control systems developed and used are described, as well as simulation and experimental results.