Convergence to stationary states of interacting particle systems

Rodrigo Marinho de Souza

Key information

Authors:

Rodrigo Marinho de Souza (Rodrigo Marinho de Souza)

Supervisors:

Ana Patrícia Carvalho Gonçalves (Ana Patrícia Carvalho Gonçalves); Doctor Milton David Jara Valenzuela

Published in

09/03/2021

Abstract

Nessa tese de doutoramento estudamos a convergência aos estados estacionários de sistemas de partículas interagentes com fronteira aberta. A tese é dividida em duas partes, sendo a primeira um estudo quantitativo dessa convergência quando o sistema está em equilíbrio e a segunda, um estudo qualitativo dessa convergência quando o sistema está fora do equilíbrio. No caso de modelos com presença de dinâmica de Glauber em equilíbrio, estudamos o tempo necessário para que a distribuição do processo esteja próxima da distribuição estacionária na métrica de variação total, obtendo resultados bem finos. Além disso, mostramos que essa convergência é abrupta e que pode ser descrita através de um perfil Gaussiano. Para explicarmos nossa abordagem, utilizamos o processo de exclusão em contato com reservatórios. No caso de sistemas fora do equilíbrio, estudamos os seus estados estacionários e provamos um Teorema Central do Limite para o seu campo de flutuações. Como esse resultado já é conhecido para o processo de exclusão com reservatórios, utilizamos como exemplo um modelo de reação-difusão d-dimensional, sendo o resultado válido para dimensões menores que quatro. A nossa grande contribuição vem do fato de que o método funciona para modelos dirigidos por equações diferenciais parciais não lineares. Além disso, é a primeira vez em que se obtém este tipo de resultado em um modelo de dimensão alta. Ambos os problemas são abordados com o método da entropia relativa de Yau, o qual combinamos com uma desigualdade log-Sobolev bastante geral e que é válida para medidas produto do tipo Bernoulli associadas a perfis definidos em cubos ou toros d-dimensionais. Essa desigualdade, que pode ser considerada a nossa maior ferramenta em ambos os problemas solucionados, possui uma prova que pode ser adaptada para modelos gradientes com fronteira aberta gerais, em qualquer dimensão. Utilizando a força da desigualdade log-Sobolev mencionada, é possível obter cotas superiores bem precisas para as entropias relativas entre algumas medidas de probabilidade e assim provar os resultados supracitados. In this PhD thesis we study the convergence to stationary states of interacting particle systems with open boundary. The thesis is divided into two parts, being the first one a quantitative study of that convergence when the system is in equilibrium and the second one, a qualitative study of that convergence when the system is out of equilibrium. In the case of models with the presence of Glauber dynamics in equilibrium, we study the time required so that the distribution of the process is close to the stationary one in total variation distance, obtaining very precise results. Furthermore, we show that this convergence is abrupt and that it can be described by a Gaussian profile. In order to explain our approach, we use the exclusion process in contact with reservoirs. In the case of a non-equilibrium system, we study its stationary states and prove a Central Limit Theorem for its fluctuation field. Since this result is already known for the exclusion process in contact with reservoirs, we use a d-dimensional reaction-diffusion model as an example, being the result valid for dimensions smaller than four. Our great contribution comes from the fact that the method works for models that are driven by non-linear partial differential equations. Moreover, this is the first time that one obtains this kind of result from a high-dimensional model. Both problems are approached with Yau’s relative entropy method, which we combine with a very general logarithmic-Sobolev inequality that is valid for Bernoulli product measures associated with profiles defined on d-dimensional cubes or tori. This inequality, which may be considered our strongest tool in both solved problems, has a proof that can be adapted to general gradient models with open boundary, in any dimension. Using the strength of the above logarithmic-Sobolev inequality, it is possible to obtain very sharp upper bounds on the relative entropy between some probability measures and thus to prove the aforementioned results.