Fundamentals of Lie categories and Yang–Mills theory for multiplicative Ehresmann connections

Žan Grad

Key information

Authors:

Žan Grad (Žan Grad)

Supervisors:

Pedro Manuel Agostinho Resende (Pedro Manuel Agostinho Resende); Ioan Mărcut

Published in

06/27/2025

Abstract

This thesis consists of two research projects within differential geometry, specifically focusing on the foundations and applications of Lie groupoids and algebroids. The first and shorter part of the thesis deals with the structural assumption of invertibility in a Lie groupoid. When this assumption is dropped, we obtain the notion of a Lie category, which is a small category, endowed with a compatible differentiable structure. We introduce various examples of Lie categories, examine their differences and similarities with Lie groupoids, and research the notions emerging naturally from the lack of invertibility of arrows. As an application, the framework of statistical thermodynamics is described within this theory. The aim of the second and principal part of this thesis is to provide a far-reaching generalization of Yang–Mills theory, extending it from the classical setting of principal bundles to general Lie groupoids and algebroids. The notion of a principle bundle connection is now replaced with that of a more general multiplicative Ehresmann connection. In obtaining this generalization, we make various advances to the theory of such connections, as well as invariant linear connections on representations. We develop the obstruction classes for their existence, generalize the (horizontal) exterior covariant derivative to the representation-valued Bott–Shulman–Stasheff and Weil complexes, and inspect their relationship with the van Est map. We research the class of multiplicative connections with cohomologically trivial curvature, which are central to obtaining the desired generalization. Applying the variational principle to this framework rests upon our developed formulae for affine deformations of multiplicative connections. Ultimately, we develop the extension of Yang–Mills theory to a non-integrable and non-transitive setting: the classical Yang–Mills equation is upgraded to a gauge-invariant pair of equations, which now describe the dynamics of gauge fields in both the longitudinal and transversal directions with respect to the (singular) orbit foliation. As an example, we obtain a Yang–Mills theory for S1-bundle gerbes. Esta tese consiste de dois projetos de pesquisa em geometria diferencial, com foco específico nos fundamentos e aplicações de grupóides e algebróides de Lie. A primeira parte da tese trata da suposição estrutural de invertibilidade num grupóide de Lie. Ao abandonar essa suposição, obtemos a noção de uma categoria de Lie, que é uma categoria pequena dotada de uma estrutura diferenciável compatível. Introduzimos diversos exemplos de categorias de Lie, analisamos as suas diferenças e semelhanças com grupóides de Lie, e investigamos as noções que surgem naturalmente da ausência de invertibilidade das setas. Como aplicação, uma formulação da termodinâmica estatística é descrita pela nossa teoria. O objetivo da segunda e principal parte da tese é apresentar uma generalização abrangente da teoria de Yang–Mills, estendendo-a do contexto clássico de fibrados principais para grupóides e algebróides de Lie em geral. A noção tradicional de conexão num fibrado principal é substituída por uma conexão de Ehresmann multiplicativa, mais geral. No desenvolvimento dessa generalização, realizamos avanços na teoria dessas conexões, bem como nas conexões lineares invariantes em representações. Construímos classes de obstrução para a sua existência, generalizamos a derivada covariante exterior (horizontal) para os complexos de Bott–Shulman–Stasheff e de Weil com valores em representações, e analisamos as suas relações com o mapa de van Est. Estudamos, em especial, a classe de conexões multiplicativas com curvatura co-homologicamente trivial, que são centrais para a teoria desejada. A aplicação do princípio variacional nesse contexto baseia-se em fórmulas que desenvolvemos para deformações afins dessas conexões. A teoria formulada generaliza a teoria de Yang–Mills para um regime não integrável e não transitivo: a equação clássica de Yang–Mills é reformulada como um par de equações invariantes de gauge, que descrevem a dinâmica dos campos de gauge tanto na direção longitudinal como na transversal relativamente à folheação de órbitas (singular). Como exemplo, obtemos uma teoria de Yang–Mills para gerbes de fibrados do tipo S1.