KAM Theory, Presymplectic Dynamics and Lie algebroids

Hassan Najafi Alishah

Key information

Authors:

Hassan Najafi Alishah (Hassan Najafi Alishah)

Supervisors:

Rui António Loja Fernandes (Rui António Loja Fernandes)

Published in

12/14/2012

Abstract

This thesis focus on various aspects of KAM theory, i.e., the study of invariant tori of a dynamical system where the motion is quasi-periodic. We show that the Diophantine condition that appears in such problems, in order to deal with convergence issues related with the appearance of “small divisors”, can be interpreted as a cohomological condition. We then consider two concrete distinct classes of KAM problems: 1) We present a KAM theorem for presymplectic dynamical systems. The theorem has an “a posteriori” format: given a Diophantine frequency ω and a family of presymplectic mappings, we show that if for some map in this family we can find an embedded torus which is approximately invariant with rotation ω and satisfies some non-degeneracy condition, then we can find an invariant embedded torus for some map in the family close to the original map. Furthermore, we show that the dimension of the parameter space can be taken smaller if we assume that the presymplectic mappings in the family are exact. 2) We present a new approach to the KAM problem for a general vector field via Lie algebroids. We explain how the problem of persistence of invariant tori can be restated as a problem of stability of leaves of Lie algebroids. Then, we state a conjecture concerning the stability of compact invariant submanifolds of a Lie algebroid. We present some examples supporting this conjecture and we discuss possible approaches to prove this conjecture. Esta tese centra-se em certos aspectos da teoria KAM, i.e., do estudo de toros invariantes de um sistema dinâmico onde o movimento é quase periódico. Mostramos que a condição Diofantina que aparece naturalmente neste tipo de problemas, de forma a controlar-se as questões de convergência relaccionadas com o aparecimento de “divisores pequenos”, pode ser interpretada como uma condição cohomológica. De seguida, consideramos dois tipos concretos de problemas KAM: 1) Enunciamos e mostramos um teorema KAM para sistemas dinâmicos presimplécticos. Este resultado tem o seguinte formato “a posteriori”: dada uma frequência Diofantina ω e uma família de aplicações presimplécticas, mostramos que se uma aplicação nesta família possui um toro embebido que é aproximadamente invariante com frequência ω e satisfaz uma condição de não degeneresência, então podemos encontrar uma aplicação na família, próxima da aplicação original, que possui um toro invariante. Mostramos ainda que a dimensão do espaço dos parâmetros diminui se as aplicações presimplécticas na família forem exactas. 2) Apresentamos uma nova abordagem ao problema KAM para campos vectoriais arbitrários via teoria dos algebróides de Lie. Explicamos como o problema da persistência de toros invariantes pode ser reformulado na linguagem dos algebróides de Lie como um problema de estabilidade de órbitas. De seguida, enunciamos uma conjectura sobre a estabilidade de subvariedades compactas invariantes de um algebróide de Lie. Damos alguns exemplos que apoiam esta conjectura e discutimos duas vias possíveis para a sua demonstração.