New toric polarizations in CP1

António Agostinho Freitas Gouveia

Key information

Authors:

António Agostinho Freitas Gouveia (António Agostinho Freitas Gouveia)

Supervisors:

João Luís Pimentel Nunes (João Luís Pimentel Nunes)

Published in

11/06/2023

Abstract

Em [1], [2] e [3] foi mostrado, usando diferentes técnicas, como a escolha de uma função estritamente convexa no politopo de momento de uma variedade Kähler tórica permite a degeneração das polarizações Kähler na polarização real. Com esta degeneração, foi ainda mostrado que as secções holomorfas convergem para as secções delta de Dirac com suporte nos pontos inteiros do politopo de momento. Esta tese explora o caso especial de S^2≅CP^1 e generaliza os resultados prévios, considerando funções com uma "bump function" como sua segunda derivada. Iremos abordar dois dos métodos: secções normalizadas L^1 e abordagem de fluxo hamiltoniano em tempo complexo para secções corrigidas meia forma. Seguindo essas abordagens, as polarizações Kähler convergem para uma nova polarização mista. Assim, somos então capazes de dividir o politopo do momento em três partes, que correspondem a uma decomposição do espaço de Hilbert da quantização mista em três partes. Fora do suporte da "bump function", as seções holomorfa convergem para sua restrição normalizada na respectiva parte. Se houver pontos inteiros no suporte de nossa função, as secções correspondentes convergem para secções distribucionais. Além disso, generalizamos estes resultados para o caso quando temos mais "bump functions". Estes novos resultados são interessantes porque, em geral, não há como "decompor" um espaço de fase em subconjuntos, de modo que a quantização da variedade simplética também "decomponha" como uma soma das quantizações desses subconjuntos. In [1], [2], and [3] it was shown, using different techniques, how the choice of a strictly convex function on the moment polytope of a toric Kähler manifold allows for the degeneration of the Kähler polarization into the real polarization. With this degeneration, it was further proved that the holomorphic sections converge to the Dirac delta distributional sections supported on the integral points of the moment polytope. This thesis explores the special case of S^2≅CP^1 and generalizes the previous results, considering functions psi, which have bump functions as their second derivative. We will do this using two methods: L^1-normalized sections and the Complex time Hamiltonian flow approach for half-form corrected sections. Following these approaches, the Kähler polarizations converge to a new mixed polarization. The moment polytope becomes divided into three parts, corresponding to the splitting of the Hilbert space of the mixed quantization into three parts. Outside the support of the bump function, the holomorphic sections converge to their normalized restriction on the respective part. If there are integral points in the support of our function, the corresponding sections converge to distributional sections. Moreover, we then generalize this for the case when we have more bump functions. These new results are interesting as, in general, there is no way of "decomposing" a phase space into subsets, such that the quantization of the symplectic manifold also "decomposes" as a sum of the quantizations of those subsets.