Resurgence, monodromy, and cluster algebras along the Painlevé I KdV hierarchy

Noam Tamarin

Key information

Authors:

Noam Tamarin (Noam Tamarin)

Supervisors:

Ricardo Pina Schiappa de Carvalho (Ricardo Pina Schiappa de Carvalho)

Published in

May 27, 2026

Abstract

Esta tese usa ressurgência para estudar a estrutura analítica de soluções transsérie ressurgentes da hierarquia de Painlevé I (KdV), uma hierarquia infinita de equações diferenciais não lineares. Estas soluções são de interesse matemático, enquanto funções especiais não lineares que possuem a propriedade de Painlevé, e de interesse físico, pois descrevem observáveis que surgem em teorias de cordas mínimas e nos limites de dupla escala de modelos hermitianos de uma matriz. Neste trabalho, conjetura-se uma descrição completa da estrutura ressurgente (juntamente com refinamentos aos dados de Stokes analíticos) para a hierarquia, capturando assim a estrutura analítica de soluções genéricas completas. São fornecidas verificações analíticas desta afirmação: ao impor a univalência de soluções verdadeiras da hierarquia (sendo meromorfas, com apenas polos moveis), obtemos e verificamos requisitos rigorosos (“fecho da monodromia”) sobre a estrutura das transséries e dos dados de Stokes não lineares. O fecho analítico da monodromia é obtido para os dois primeiros exemplos da hierarquia (Painlevé I e Yang–Lee), usando resultados conhecidos para as respetivas soluções transsérie. Isto conduz a uma conjetura de transséries e de fecho da monodromia para toda a hierarquia, que é extensivamente testada por métodos analíticos e numéricos. Além disso, surge uma relação entre o cálculo da monodromia das transséries ao longo da hierarquia e álgebras de cluster do tipo A2k−2. Em particular, ap´os uma reparametrização das condições iniciais das transséries, mostra-se que o fecho da monodromia para os dois primeiros exemplos da hierarquia corresponde à periodicidade das coordenadas y das álgebras de cluster A2 e A4. Conjetura-se para toda a hierarquia e verifica-se analiticamente para vários elementos desta. Estendendo o problema de monodromia às funções tau correspondentes, a exigência de univalência conduz a uma hierarquia infinita de identidades de dilogaritmo, cuja validade e relação com identidades de dilogaritmo do tipo A2k−2 já conhecidas são discutidas. This thesis uses resurgence to study the analytic structure of transseries solutions to the Painlevé I (KdV) hierarchy, an infinite family of nonlinear differential equations. Solutions to these equations are of mathematical interest, being nonlinear special functions possessing the Painlevé property. They are also of physical interest, describing observables appearing in minimal string theories and in the double-scaling limits of Hermitian one-matrix models. In this work, a complete description of the resurgent structure (alongside refinements to recent conjectures for its analytic Stokes data) is conjectured for the hierarchy, capturing analytic structure of full-fledged generic solutions. Strong analytic checks of this claim are provided: by imposing the single-valuedness of actual solutions (which are meromorphic, with only movable poles), we obtain and verify stringent constraints (“monodromy closure”) on the transseries and nonlinear Stokes-data structure. For the first two members of the hierarchy (Painlevé I and Yang–Lee), we obtain monodromy closure conditions analytically, using known results for their transseries solutions. This leads to a conjecture for the transseries structure and its monodromy closure along the entire hierarchy, which is then extensively tested using both analytical and numerical methods. Additionally, a deep connection emerges between transseries monodromy computations along the hierarchy and cluster algebras of type A2k−2. In particular, upon reparameterization of transseries parameters, it is shown that monodromy closure for the first two examples in the hierarchy corresponds to the periodicity of the y-coordinates of the cluster algebras A2 and A4. A generalization to the entire hierarchy is conjectured and, for several elements along the hierarchy, verified analytically and numerically. Extending the monodromy problem to the corresponding tau functions, this single-valuedness requirement leads to an additional prediction: an infinite hierarchy of dilogarithm identities, whose validity and relation to already known A2k−2 dilogarithm identities are discussed.