Stability of the Cauchy horizon for cosmological black holes in spherical symmetry

Flavio Rossetti

Informações chave

Autores:

Flavio Rossetti (Flavio Rossetti)

Orientadores:

José António Maciel Natário (José António Maciel Natário), João Lopes Costa

Publicado em

19/12/2024

Resumo

A presente tese trata do problema da unicidade global de soluções para o problema de valor inicial das equações de Einstein. A afirmação da unicidade global está codificada na Censura Cósmica Forte (CCF), cuja resolução negativa implica uma violação do determinismo clássico da Relatividade Geral. O presente trabalho fornece resultados rigorosos que sugerem uma violação de certas formulações da CCF no caso de soluções das equações de Einstein que modelam buracos negros cosmológicos. O enquadramento matemático é o seguinte: investigamos o interior de um buraco negro dinâmico descrito pelo sistema de equações de Einstein com uma constante cosmológica, acoplado às equações de Maxwell e Klein-Gordon para um campo escalar carregado, em simetria esférica. Em particular, consideramos um problema de valor inicial caraterístico em que, numa das hipersuperfícies iniciais, interpretada como o horizonte de eventos %+ de um buraco negro dinâmico, prescrevemos: a) dados iniciais que se aproximam assintoticamente de uma solução não extrema de Reissner-Nordstrõm-de Sitter; b) um limite superior para o campo escalar carregado dado por uma lei de Price exponencial. Depois de mostrarmos existência local e unicidade para o sistema relevante de equações diferenciais parciais de primeira ordem, estabelecemos a existência de um horizonte de Cauchy CH+ para o espaçotempo, estendendo os métodos de bootstrap usados no caso A = 0 por Van de Moortel [79]. Neste contexto, mostramos a existência de extensões C° do espaço-tempo para além de CH+. Além disso, se o campo escalar decair suficientemente rápido ao longo de H+, mostramos que a massa de Hawking renormalizada permanece limitada para um conjunto aberto de dados iniciais. No que diz respeito ao modelo análogo relativo a um campo escalar sem carga e sem massa, alargamos a gama conhecida de parâmetros para os quais a divergência da massa de Hawking é evitada, até ao limiar ótimo sugerido pelas análises lineares de Costa-Franzen [18] e Hintz-Vasy [60]. Neste cenário sem divergência de massa, que inclui soluções quase extremas, provamos ainda que o espaço-tempo pode ser estendido através do horizonte de Cauchy com métrica contínua, símbolos de Christoffel em L^oc e campo escalar em H^.. Generalizando o trabalho de Costa-Girão-Natário-Silva [22] para o caso de um campo escalar carregado e massivo, os nossos resultados revelam uma potencial falha da versão de Christodoulou-Chrusciel da CCF em simetria esférica. This thesis is concerned with the problem of global uniqueness of solutions to the initial value problem for the Einstein equations. The statement of global uniqueness is encoded in the Strong Cosmic Censorship Conjecture (SCCC), whose negative resolution implies a violation of classical determinism in General Relativity. The present work provides rigorous results that suggest the failure of certain formulations of the SCCC in the case of spacetime solutions given by cosmological black holes. The mathematical framework is the following: we investigate the interior of a dynamical black hole as described by the Einstein-Maxwell-charged-Klein-Gordon system of equations with a cosmological constant, under spherical symmetry. In particular, we consider a characteristic initial value problem where, on the outgoing initial hypersurface, interpreted as the event horizon H+ of a dynamical black hole, we prescribe: a) initial data asymptotically approaching a fixed sub-extremal Reissner-Nordstr¨om-de Sitter solution; b) an exponential Price law upper bound for the charged scalar field. After showing local well-posedness for the corresponding first-order system of partial differential equations, we establish the existence of a Cauchy horizon CH+ for the evolved spacetime, extending the bootstrap methods used in the case Λ = 0 by Van de Moortel [79]. In this context, we show the existence of C 0 spacetime extensions beyond CH+. Moreover, if the scalar field decays at a sufficiently fast rate along H+, we show that the renormalized Hawking mass remains bounded for a large set of initial data. With respect to the analogous model concerning an uncharged and massless scalar field, we are able to extend the known range of parameters for which mass inflation is prevented, up to the optimal threshold suggested by the linear analyses by Costa-Franzen [18] and Hintz-Vasy [60]. In this no-mass-inflation scenario, which includes near-extremal solutions, we further prove that the spacetime can be extended across the Cauchy horizon with continuous metric, Christoffel symbols in L 2 loc and scalar field in H1 loc. By generalizing the work by Costa-Gir˜ao-Nat´ario-Silva [22] to the case of a charged and massive scalar field, our results reveal a potential failure of the Christodoulou-Chru´sciel version of the strong cosmic censorship under spherical symmetry.