Classification and Stability Results of Ground State Solutions on Metric Graphs

February 27, 2025

Nesta dissertação, discutimos várias questões relacionadas com as equações de Schrodinger não linear de evolucao, (NLS), e estacionaria, (sNLS), nos grafos T, girino, e em forma de garfo. Analisamos a existencia e unicidade/multiplicidade de solucoes positivas da equacao estacionaria (sNLS) nos grafos previamente mencionados. Obtemos uma classificacao de todas as solucoes positivas no caso do grafo T e classificamos solucoes monótonas no caso do grafo girino. Nos grafos em forma de garfo, obtemos resultados parciais para solucoes monotonas e simétricas. Abordamos a questao de existencia de solucoes de acao mínima (s.a.m.) em grafos metricos. No caso dos grafos T e girino, provamos unicidade de s.a.m. usando os resultados de classificacao para solucoes positivas previamente mencionados. Depois, analisamos a relacao entre s.a.m. e solucoes de energia mínima (s.e.m.), concluindo que estas nocoes de solucao nao sao equivalentes perto do expoente L2-crítico p = 6. De seguida, apresentamos um resultado geral, com base na unicidade de s.a.m., que garante nao unicidade de s.e.m. em grafos metricos nao compactos. Aplicamos este resultado aos grafos T e girino para concluir que s.e.m nao sao unicas nestes grafos perto do expoente L2-crítico p = 6. Finalmente, discutimos a estabilidade orbital de ondas estacionarias da equacao (NLS) cujo perfil e determinado por uma s.a.m. Provamos que, nos grafos T e girino, e possível aplicar a celebre teoria de Grillakis-Shatah-Strauss para analisar a estabilidade orbital destas solucoes. Usando esta teoria, demonstramos que existem sempre transicoes entre estabilidade e instabilidade perto do expoente L2- crítico. Alem disso, sob certas condicoes em propriedades metricas dos grafos, mostramos que, no regime L2-supercrítico, s.a.m. sao instaveis. In this dissertation, we discuss several questions concerning the evolution (NLS) and stationary (sNLS) Nonlinear Schrodinger equations in the ¨ T , tadpole, and fork-type graphs. We analyze the existence and uniqueness/multiplicity of positive solutions of the stationary (sNLS) in the aforementioned graphs. We obtain a full classification of these solutions in the case of T -graphs and a classification of monotone solutions in the tadpole graph. We also provide some partial results on monotone and symmetric solutions in the case of fork-type graphs. We discuss the existence of action ground states (a.g.s.) in metric graphs. In the case of T and tadpole graphs, we prove uniqueness of a.g.s. using the previously mentioned classification results for positive solutions of (sNLS). Then, we analyze the relationship between a.g.s. and energy ground states (e.g.s.), concluding that these different notions of solution are not, in general, equivalent near the L 2 -critical exponent p = 6. We then present a general result, based on uniqueness of a.g.s., which guarantees non-uniqueness of e.g.s. on non-compact metric graphs. We apply this result to the T and tadpole graphs to conclude that e.g.s. are not unique near the L 2 -critical exponent p = 6. Finally, we discuss orbital stability of solutions to the evolution (NLS) whose profile is determined by an a.g.s. We prove that, on the T and tadpole graphs, one can use the celebrated theory of GrillakisShatah-Strauss to analyze the stability of a.g.s. Using this theory, we prove that there always exists transition between stability and instability near the L 2 -critical exponent. Additionally, we show that, in the L 2 -supercritical regime, a.g.s. are unstable under some conditions on the metric properties of the graphs.

Authors in the community:

• 

  F

  Francisco Cristóvão Agostinho

  ist191178

  Affiliations and sources

  IST > CAMGSD

  Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos

Supervisors of this institution:

• 

  H

  Hugo Ricardo Nabais Tavares

  ist27898

101649444

Doutoramento em Matemática

mathematics - Mathematics

Keywords

• Nonlinear Schrodinger Equation
• Metric Graphs
• Positive Solutions
• Action and Energy Ground States
• Orbital Stability
• Equacao de Schrodinger Nao-linear
• Grafos Metricos
• Solucoes Positivas
• Solucoes de Energia e Acao Mínima
• Estabilidade Orbital

eng - English

Instituto Superior Técnico

Financing entity

Fundação para a Ciência e a Tecnologia

Identifier for the funding entity: https://doi.org/10.13039/501100001871

Type of identifier of the funding entity: Crossref Funder